存在比O(N ^ 2)效率更高的算法,可以将两个数字相乘(请参阅Karatsuba,Pollard,Schönhage–Strassen等)。
两个问题“乘以两个任意的n位数字”和“平方一个任意的n位数字”具有相同的复杂度。
我们有
4*x*y = (x+y)^2 - (x-y)^2
因此,如果对n位整数进行平方运算需要O(f(N))时间,那么也可以在O(f(N))中获得两个任意n位整数的乘积。(即2x n位和,2x n位平方,1x 2n位和和1x 2n位移位)
显然,我们有
x^2 = x * x
因此,如果将两个n位整数相乘需要O(f(N)),则可以在O(f(N))中对n位整数进行平方。
任何计算乘积(重平方)的算法都提供了一种算法,以相同的渐近成本计算平方(重平方)。
如其他答案所述,在平方的情况下,可简化用于快速乘法的算法。增益将取决于f(N)前面的常数,而不取决于f(N)本身。